如圖，已知AB是⊙O的切線，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交於點D，點E為AB的中點，PF⊥BC交BC於點G，交...

問題詳情：

如圖，已知AB是⊙O的切線，BC為⊙O的直徑，AC與⊙O交於點D，點E為AB的中點，PF⊥BC交BC於點G，交AC於點F

（1）求*：ED是⊙O的切線；

（2）求*：△CFP∽△CPD；

（3）如果CF＝1，CP＝2，sinA＝，求O到DC的距離．

【回答】

（1）*：連線OD．

∵BC為直徑，∴△BDC為直角三角形．

在Rt△ADB中，E為AB中點，

∴BE＝DE，

∴∠EBD＝∠EDB．

又∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，

∵∠OBD+∠ABD＝90°，∴∠ODB+∠EDB＝90°．

∴ED是⊙O的切線．

（2）*：∵PF⊥BC，

∴∠FPC＝90°﹣∠BCP（直角三角形的兩個銳角互餘）．

∵∠PDC＝90°﹣∠PDB（直徑所對的圓周角是直角），∠PDB＝∠BCP（同弧所對的圓周角相等），

∴∠FPC＝∠PDC（等量代換）．

又∵∠PCF是公共角，

∴△PCF∽△DCP．

（3）解：過點O作OM⊥CD於點M，

∵△PCF∽△DCP，∴PC2＝CF•CD（相似三角形的對應邊成比例）．

∵CF＝1，CP＝2，∴CD＝4．

可知sin∠DBC＝sinA＝sin∠MOC＝，

∴＝，即＝，

∴直徑BC＝5，∴＝，∴MC＝2，∴MO＝，

∴O到DC的距離為．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：綜合題