如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連線OP交⊙O於E．過A點作AB⊥PO於點D，交⊙O於B，...

問題詳情：

如圖，PA是⊙O的切線，切點為A，AC是⊙O的直徑，連線OP交⊙O於E．過A點作AB⊥PO於點D，交⊙O於B，連線BC，PB． （1）求*：PB是⊙O的切線； （2）求*：E為△PAB的內心； （3）若cos∠PAB=，BC=1，求PO的長．

【回答】

（1）*：連結OB， ∵AC為⊙O的直徑， ∴∠ABC=90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC ∴∠AOP=∠C，∠POB=∠OBC， OB=OC， ∴∠OBC=∠C， ∴∠AOP=∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SAS）， ∴∠OBP=∠OAP， ∵PA為⊙O的切線， ∴∠OAP=90°， ∴∠OBP=90°， ∴PB是⊙O的切線； （2）*：連結AE， ∵PA為⊙O的切線， ∴∠PAE+∠OAE=90°， ∵AD⊥ED， ∴∠EAD+∠AED=90°， ∵OE=OA， ∴∠OAE=∠AED， ∴∠PAE=∠DAE，即EA平分∠PAD， ∵PA、PD為⊙O的切線， ∴PD平分∠APB ∴E為△PAB的內心； （3）解：∵∠PAB+∠BAC=90°，∠C+∠BAC=90°， ∴∠PAB=∠C， ∴cos∠C=cos∠PAB=， 在Rt△ABC中，cos∠C===， ∴AC=，AO=， ∵△PAO∽△ABC， ∴， ∴PO===5． 【解析】

（1）連結OB，根據圓周角定理得到∠ABC=90°，*△AOP≌△BOP，得到∠OBP=∠OAP，根據切線的判定定理*； （2）連結AE，根據切線的*質定理得到∠PAE+∠OAE=90°，*EA平分∠PAD，根據三角形的內心的概念*即可； （3）根據餘弦的定義求出OA，*△PAO∽△ABC，根據相似三角形的*質列出比例式，計算即可． 本題考查的是三角形的內切圓和內心、相似三角形的判定和*質、切線的判定，掌握切線的判定定理、相似三角形的判定定理和*質定理是解題的關鍵．

知識點：各地會考

題型：解答題