已知函式．(1)求函式的單調區間及極值；(2)設時，存在，使方程成立，求實數的最小值．

問題詳情：

已知函式．

(1)求函式的單調區間及極值；

(2)設時，存在，使方程成立，求實數的最小值．

【回答】

解；通過假設，求出的最小值，即為的最小值.

【詳解】（1）由得：

令，則，解得

當時，

當時，

的單調遞增區間為，單調遞減區間為

當時，函式有極大值，沒有極小值

（2）當時，由（1）知，函式在處有最大值

又因為

方程有解，必然存在，使

，

等價於方程有解，即在上有解

記，

，令，得

當時，，單調遞減

當時，，單調遞增

所以當時，

所以實數的最小值為

【點睛】本題考查利用導數求解函式單調區間和極值、能成立問題的求解.解題關鍵是能夠將原題的能成立問題轉化為方程有解的問題，從而進一步轉化為函式最值問題的求解，對於學生轉化與化歸思想的應用要求較高.

知識點：導數及其應用

題型：解答題