如圖,在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥側面BB1C1C,AB1與A1B相交於點D,E是CC1上的點,且...
問題詳情:
如圖,在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥側面BB1C1C,AB1與A1B相交於點D,E是CC1上的點,且DE∥平面ABC,BC=1,BB1=2.
(Ⅰ)*:B1E⊥平面ABE
(Ⅱ)若異面直線AB和A1C1所成角的正切值為,求二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值.
【回答】
【考點】MT:二面角的平面角及求法;LW:直線與平面垂直的判定.
【分析】(Ⅰ)推匯出B1E⊥AB,BE⊥B1E,由此能*B1E⊥平面ABE.
(Ⅱ)由AC∥A1C1,知∠BAC(或∠BAC的補角)是異面直線AB和A1C1所成角,以B為原點,BC為x軸,BB1為y軸,BA為z軸,建立空間直角座標系,利用向量法能求出二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值.
【解答】*:(Ⅰ)∵在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥側面BB1C1C,B1E⊂面BB1C1C,
∴B1E⊥AB,
∵AB1與A1B相交於點D,∴D是AB1的中點,
取BB1中點O,連結DO,EO,則DO∥平面ABC,
∵DE∥平面ABC,DE∩DO=D,
∴平面DEO∥平面ABC,
∴OE∥BC,∴E是CC1的中點,
∴BE=B1E==,
∴BE2+B1E2=BB12,∴BE⊥B1E,
∵BE∩AB=B,∴B1E⊥平面ABE.
解:(Ⅱ)∵AC∥A1C1,
∴∠BAC(或∠BAC的補角)是異面直線AB和A1C1所成角,
∵在直三稜柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥側面BB1C1C,
∴AB⊥BC,∵異面直線AB和A1C1所成角的正切值為,
∴tan=,
∵BC=1,BB1=2,∴AB=,
以B為原點,BC為x軸,BB1為y軸,BA為z軸,建立空間直角座標系,
E(1,1,0),A(0,0,),B1(0,2,0),A1(0,2,),
=(﹣1,﹣1,),=(﹣1,1,0),=(﹣1,1,),
設平面AB1E的法向量=(x,y,z),
則,取x=,得=(,2),
設平面A1B1E的法向量=(a,b,c),
則,取a=1,得=(1,1,0),
設二面角A﹣B1E﹣A1的平面角為θ,
則cosθ===.
∴二面角A﹣B1E﹣A1的餘弦值為.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:解答題
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