如圖，在直三稜柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，，M為側稜CC1上一點，AM⊥BA1.  ...

問題詳情：

如圖，在直三稜柱ABC―A1B1C1中，∠ACB=90°，CB=1，，M為側稜CC1上一點，AM⊥BA1.

   （1）求*：AM⊥平面A1BC；   （2）求二面角B AM C的大小；

   （3）求點C到平面ABM的距離.

【回答】

*：（I）在直三稜柱ABC-A1B1C1中，易知面ACC1A1⊥面ABC，

    ∵∠ACB = 90°，

∴BC⊥面ACC1A1，                                                                          

∵AM面ACC1A1

∴BC⊥AM

∵AM⊥BA1，且BC∩BA1=B

∴AM⊥平面A1BC                                                                             

   （II）設AM與A1C的交點為O，連結BO，由（I）可知AM⊥OB，且AM⊥OC，所以∠BOC為二面角B AM C的平面角                                                                                                        

    在Rt△ACM和Rt△A1AC中，∠OAC +∠ACO=90°，

    ∴∠AA1C =∠MAC

∴Rt△ACM∽Rt△A1AC

∴AC2 = MC・AA1

，故所求二面角的大小為45°                                   

   （III）設點C到平面ABM的距離為h，易知BO=，

可得                                

∴點C到平面ABM的距離為                                                        

解法二：（I）同解法一

   （II）如圖以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角座標系，則

    即                              

    設向量，則

    的平面AMB的一個法向量為

    是平面AMC的一個法向量                 

    易知，所夾的角等於二面角B AM C的大小，故所求二面角的大小為45°

   （III）向量即為所求距離    

∴點C到平面ABM的距離為

知識點：空間幾何體

題型：計算題