如圖，直三稜柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝.(1)*：BC1...

問題詳情：

如圖，直三稜柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，

AA1＝AC＝CB＝.

(1)*：BC1∥平面A1CD；

(2)求二面角D－A1C－E的正弦值.

【回答】

解：(1)*　連線AC1交A1C於點F，則F為AC1的中點.

又D是AB的中點，連線DF，則BC1∥DF.

因為DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，

所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.

以C為座標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角座標系Cxyz.

設CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2).

設n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

則即可取n＝(1，－1，－1).

同理，設m是平面A1CE的法向量，

則可取m＝(2,1，－2).

從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.

即二面角D－A1C－E的正弦值為.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題