已知函式，為的導數．*：1.在區間存在唯一極大值點；2.有且僅有2個零點．

問題詳情：

已知函式，為的導數．*：

1.在區間存在唯一極大值點；

2.有且僅有2個零點．

【回答】

1.設，則，.

當時，單調遞減，而，可得在有唯一零點，

設為.

則當時，；當時，.

所以在單調遞增，在單調遞減，故在存在唯一極大值點，即在存在唯一極大值點.

2.的定義域為.

（i）當時，由1知，在單調遞增，而，所以當時，，故在單調遞減，又，從而是在的唯一零點.

（ii）當時，由1知，在單調遞增，在單調遞減，而，，所以存在，使得，且當時，；當時，.故在單調遞增，在單調遞減.

又，，所以當時，.從而， 在沒有零點.

（iii）當時，，所以在單調遞減.而，，所以在有唯一零點.

（iv）當時，，所以，從而在沒有零點.

綜上，有且僅有2個零點.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題