已知函式，，為的導數，且.*：（1）在內有唯一零點；（2）.（參考資料：，，，，.）

問題詳情：

已知函式，，為的導數，且.

*：

（1）在內有唯一零點；

（2）.

（參考資料：，，，，.）

【回答】

解：

（1）g(x)＝f¢(x)＝xcosx＋sinx，

所以x∈(0，]時，g(x)＞0，即g(x)在(0，]內沒有零點．               …2分 x∈(，π)時，g¢(x)＝2cosx－xsinx， 因為cosx＜0，xsinx＞0，從而g¢(x)＜0， 所以g(x)在(，π)上單調遞減， 又g(2)＝(2＋tan2)cos2＞0，g()＝－＋＜0， 所以g(x)在(2，)內有唯一零點t．                                 …6分

（2）由（1）得，

x∈(0，t)時，g(x)＞0，所以f¢(x)＞0，即f(x)單調遞增； x∈(t，π)時，g(x)＜0，所以f¢(x)＜0，即f(x)單調遞減，

即f(x)的最大值為f(t)＝tsint． 由f¢(t)＝tcost＋sint＝0得t＝－tant， 所以f(t)＝－tant·sint， 因此f(t)－2＝

＝ ＝．                                      …9分

因為t∈(2，)，所以cost∈(－，cos2)，

從而(cos2－1)2－2＝(－1.4161)2－()2＞0， 即＜0， 所以f(t)－2＜0， 故f(x)＜2．                                                       …12分

知識點：三角函式

題型：解答題