定義在R上的函式y=f（x）為減函式，且函式y=f（x﹣1）的圖象關於點（1，0）對稱，若f（x2﹣2x）+f...

問題詳情：

定義在R上的函式y=f（x）為減函式，且函式y=f（x﹣1）的圖象關於點（1，0）對稱，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，則x﹣b的取值範圍是（　　）

A．[﹣2，0] B．[﹣2，2] C．[0，2]   D．[0，4]

【回答】

B【考點】3N：奇偶*與單調*的綜合．

【分析】設P（x，y）為函式y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點，關於（1，0）對稱點為（2﹣x，﹣y），可得f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．由於不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）=f（b2﹣2b），再利用函式y=f（x）為定義在R上的減函式，可得x2﹣2x≥b2﹣2b，可畫出可行域，進而得出*．

【解答】解：設P（x，y）為函式y=f（x﹣1）的圖象上的任意一點，關於（1，0）對稱點為（2﹣x，﹣y），

∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．

∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化為f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）

=f（b2﹣2b），

∵函式y=f（x）為定義在R上的減函式，

∴x2﹣2x≥b2﹣2b，

化為（x﹣1）2≥（b﹣1）2，

∵0≤x≤2，∴或．

畫出可行域．設x﹣b=z，則b=x﹣z，由圖可知：當直線b=x﹣z經過點（0，2）時，z取得最小值﹣2．

當直線b=x﹣z經過點（2，0）時，z取得最大值2．

綜上可得：x﹣b的取值範圍是[﹣2，2]．

故選B．

知識點：*與函式的概念

題型：選擇題