已知函式f（x）是定義在R上的單調函式，且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若動點P（x...

問題詳情：

已知函式f（x）是定義在R上的單調函式，且對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），若動點P（x，y）滿足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，則x+y的最大值為（　　）

A．2﹣5 B．﹣5 C．2+5   D．5

【回答】

A【考點】抽象函式及其應用．

【分析】由條件可令x=y=0，求得f（0）=0，再由f（x）為單調函式且滿足的條件，將f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0化為f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），可得x2+y2+2x+8y+5=0，*後，再令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），運用兩角差的餘弦公式和餘弦函式的值域，即可得到所求最大值．

【解答】解：對任意的x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=0，y=0，都有f（0+0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0，

動點P（x，y）滿足等式f（x2+2x+2）+f（y2+8y+3）=0，

即有f（x2+y2+2x+8y+5）=0=f（0），

由函式f（x）是定義在R上的單調函式，

可得x2+y2+2x+8y+5=0，

化為（x+1）2+（y+4）2=12，

可令x=﹣1+2cosα，y=﹣4+2sinα（α∈（0，2π）），

則x+y=2（cosα+sinα）﹣5

=2cos（α﹣）﹣5，

當cos（α﹣）=1即α=時，x+y取得最大值2﹣5，

故選：A．

知識點：*與函式的概念

題型：選擇題