已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數.(1)*:an...

問題詳情：

已知數列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ為常數.

(1)*:an+2-an=λ;

(2)是否存在λ,使得{an}為等差數列?並說明理由.

【回答】

 (1)*:由題設,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.

兩式相減得an+1(an+2-an)=λan+1.

由於an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)解:存在滿足題意的λ,

由題設,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

由(1)知,a3=λ+1,

令2a2=a1+a3,解得λ=4.

故an+2-an=4,由此可得

{a2n-1}是首項為1,公差為4的等差數列,a2n-1=4n-3;

{a2n}是首項為3,公差為4的等差數列,a2n=4n-1.

所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得數列{an}為等差數列.

知識點：數列

題型：解答題