已知數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．(1)求*：數列{an}...

問題詳情：

已知數列{an}的各項均為正數，前n項和為Sn，且滿足2Sn＝a＋n－4(n∈N*)．

(1)求*：數列{an}為等差數列；

(2)求數列{an}的通項公式．

【回答】

解：(1)*：當n＝1時，有2a1＝a＋1－4，

即a－2a1－3＝0，

解得a1＝3(a1＝－1捨去)．

當n≥2時，有2Sn－1＝a＋n－5，

又2Sn＝a＋n－4，

兩式相減得2an＝a－a＋1，

即a－2an＋1＝a，也即(an－1)2＝a，

因此an－1＝an－1或an－1＝－an－1.

若an－1＝－an－1，則an＋an－1＝1.

而a1＝3，

所以a2＝－2，這與數列{an}的各項均為正數相矛盾，所以an－1＝an－1，

即an－an－1＝1，

因此數列{an}是首項為3，公差為1的等差數列．

(2)由(1)知a1＝3，d＝1，

所以數列{an}的通項公式an＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝n＋2.

知識點：數列

題型：解答題