已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，並且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.(1)設bn＝a...

問題詳情：

已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，並且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.

(1)設bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求*：數列{bn}是等比數列；

(2)設cn＝(n＝1,2，…)，求*：數列{cn}是等差數列．

【回答】

*：(1)因為Sn＋1＝4an＋2，

所以Sn＋2＝4an＋1＋2，

兩式相減得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，

即an＋2＝4an＋1－4an，

變形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)，

因為bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，

所以bn＋1＝2bn，

由此可知，數列{bn}是公比為2的等比數列．

(2)由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，

得a2＝5，b1＝a2－2a1＝3.

故bn＝3·2n－1.

因為cn＝(n＝1,2，…)，

所以cn＋1－cn

將bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．

由此可知，數列{cn}是公差d＝的等差數列．

知識點：推理與*

題型：解答題