設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)...

問題詳情：

設數列{an}的前n項和為Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．

(1)求a2，a3的值；

(2)求*：數列{Sn＋2}是等比數列．

【回答】

解：(1)因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，

所以當n＝1時，a1＝2×1＝2；

當n＝2時，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，

所以a2＝4；

當n＝3時，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，

所以a3＝8.

綜上，a2＝4，a3＝8.

(2)*：因為a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．①

所以當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1

＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②

①－②，得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.

所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，

即Sn＝2Sn－1＋2，

所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．

因為S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，所以＝2，

故{Sn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數列．

知識點：數列

題型：解答題