已知函式f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）（Ⅰ）若函式f（x）在x=1處的切線與直...

問題詳情：

已知函式 f（x）=x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）lnx（a＞0）

（Ⅰ）若函式f（x）在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行，求a的值：

（Ⅱ）求函式f（x）的單調區間；

（Ⅲ）在（I）的條什下，若對職∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恆成立，求實數k的取值範圍．

【回答】

【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函式的單調*．

【專題】導數的綜合應用．

【分析】（Ⅰ）由導數值即曲線的斜率即可求得；

（Ⅱ）利用導數求函式的單調區間，注意對a進行討論；

（Ⅲ）把不等式恆成立問題轉化為求函式的最值問題解決，對∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恆成立，即求f（x）min≥k2+6k恆成立．

【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣1分

∵函式f（x）在x=1處的切線與直線3x﹣y+2=0平行，

∴f′（1）=1﹣（3a+1）+2a（a+1）=3，即2a2﹣a﹣3=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣2分

解得a=或a=﹣1（不符合題意，捨去），∴a=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣4分

（Ⅱ）函式f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=x﹣（3a+1）+﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣5分

①當0＜a＜1時，2a＜a+1，∴當0＜x＜2a或x＞a+1時，f′（x）＞0，

當2a＜x＜a+1時，f′（x）＜0，

∴函式f（x）在（0，2a）和（a+1，+∞）上單調遞增，在（2a，a+1）上單調遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣7分

②當a=1時，2a=a+1，f′（x）≥0，∴函式f（x）在（0，+∞）上單調遞增，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣8分

③當a＞1時，2a＞a+1，

∴0＜x＜a+1或x＞2a時，f′（x）＞0；a+1＜x＜2a時，f′（x）＜0，

∴函式f（x）在（0，a+1）和（2a，+∞）上單調遞增，在（a+1，2a）上單調遞減．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣10分

（Ⅲ）當a=時，f（x）=﹣+lnx，

由（Ⅱ）知函式f（x）在（0，）上單調遞增，在（，3）上單調遞減，

因此f（x）在區間1，e]的最小值只能在f（1）或f（e）中取得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣11分

∵f（1）=﹣5，f（e）=﹣+，

∴f（e）﹣f（1）=．

設g（x）=x2﹣11x+25，則g（x）在（﹣∞，）上單調遞減，且e＜3＜，

∴g（e）＞g（3），故f（e）﹣f（1）＞0．

∴f（x）在區間1，e]的最小值是f（1）=﹣5．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣13分

若要滿足對對∀x∈[1，e]，f（x）≥k2+6k恆成立，只需f（x）min≥k2+6k恆成立，

即求﹣5≥k2+6k恆成立，即k2+6k+5≤0，解得﹣5≤k≤﹣1．

∴實數k的取值範圍是[﹣5，﹣1]．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣14分

【點評】考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用導數研究函式的單調區間以及根據函式的增減*得到函式的最值．掌握不等式恆成立時所取的條件．體會數學轉化思想的運用．

知識點：導數及其應用

題型：解答題