.已知函式f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.(1)若函式f(x)在[1,2]上是減函式,求實數a的取值範圍...
問題詳情:
.已知函式f(x)=x2+ax﹣lnx,a∈R.
(1)若函式f(x)在[1,2]上是減函式,求實數a的取值範圍;
(2)令g(x)=f(x)﹣x2,是否存在實數a,當x∈(0,e](e是自然常數)時,函式g(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,說明理由;
(3)當x∈(0,e]時,*:.
【回答】
【考點】6B:利用導數研究函式的單調*;6E:利用導數求閉區間上函式的最值.
【分析】(1)先對函式f(x)進行求導,根據函式f(x)在[1,2]上是減函式可得到其導函式在[1,2]上小於等於0應該恆成立,再結合二次函式的*質可求得a的範圍.
(2)先假設存在,然後對函式g(x)進行求導,再對a的值分情況討論函式g(x)在(0,e]上的單調*和最小值取得,可知當a=e2能夠保*當x∈(0,e]時g(x)有最小值3.
(3)令F(x)=e2x﹣lnx結合(2)中知F(x)的最小值為3,再令並求導,再由導函式在0<x≤e大於等於0可判斷出函式ϕ(x)在(0,e]上單調遞增,從而可求得最大值也為3,即有成立,即成立.
【解答】解:(1)在[1,2]上恆成立,
令h(x)=2x2+ax﹣1,有得,
得
(2)假設存在實數a,使g(x)=ax﹣lnx(x∈(0,e])有最小值3, =
①當a≤0時,g(x)在(0,e]上單調遞減,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(捨去),
②當時,g(x)在上單調遞減,在上單調遞增
∴,a=e2,滿足條件.
③當時,g(x)在(0,e]上單調遞減,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,(捨去),
綜上,存在實數a=e2,使得當x∈(0,e]時g(x)有最小值3.
(3)令F(x)=e2x﹣lnx,由(2)知,F(x)min=3.
令,,
當0<x≤e時,ϕ'(x)≥0,φ(x)在(0,e]上單調遞增
∴
∴,即>(x+1)lnx.
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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