已知函式f（x）=x2-2x+mlnx+2，m∈R．（Ⅰ）當m＜1時，討論函式f（x）的單調*；（Ⅱ）若函式f...

問題詳情：

已知函式f（x）=x2-2x+mlnx+2，m∈R． （Ⅰ）當m＜1時，討論函式f（x）的單調*； （Ⅱ）若函式f（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求*1-≤＜1．

【回答】

解：（1）∵， ∴， 令g（x）=x2-2x+m，∵m＜1，∴△=4-4m＞0， 令f’（x）=0則， 當，即m≤0時， 令f’（x）＜0則；令f’（x）＞0則． 此時函式在上單調遞減；在上單調遞增． 當，即0＜m＜1時， 令f’（x）＜0，則； 令f’（x）＞0則， 此時函式在上單調遞減；在和上單調遞增． （2）由（1）知，若f（x）有兩個極值點， 則0＜m＜1且， 又x1，x2是x2-2x+m=0的兩個根，則， ∴， 令，則， 令h’（t）＜0，則，令h’（t）＞0，則， 所以h（t）在上單調遞減；在上單調遞增． ∴， ∵，∴h（t）＜1，得*． 【解析】

（1）首先求得導函式，然後分類討論確定函式的單調*即可； （2）首先確定x1，x2的範圍，然後結合題意*題中的不等式即可． 本題主要考查導函式研究函式的單調*，導函式研究函式的極值，利用導數*不等式的方法等知識，屬於中等題．

知識點：導數及其應用

題型：解答題