在實數集R上定義運算： （Ⅰ）求F(x)的解析式；（Ⅱ）若F(x)在R上是減函式，求實數a的取值範圍；（Ⅲ）...

問題詳情：

 在實數集R上定義運算：

（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）若F(x)在R上是減函式，求實數a的取值範圍；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲線上是否存在兩點，使得過這兩點的切線互相垂直？若存在，求出切線方程；若不

存在，說明理由.

【回答】

 解析：（I）由題意，F(x)=f(x) (a－g(x))…

=ex(a－e－x－2x2)

=aex－1－2x2ex.…

    （II）∵F′(x)=aex－2x2ex－4xex=－ex(2x2+4x－a)，      

    當x∈R時，F(x)在減函式，

∴F′(x)≤0對於x∈R恆成立，即

     －ex(2x2+4x－a)≤0恆成立，          ∵ex>0，

∴2x2+4x－a≥0恆成立，

∴△=16－8(－a) ≤0，

∴a≤－2.

（III）當a=－3時，F(x)= －3ex－1－2x2ex，

     設P(x1，y1)，Q（x2，y2）是F(x)曲線上的任意兩點，

∵F′(x)= －ex(2x2+4x+3)=－ex[2(x+1)2+1]<0，

∴ F′(x1)·F′(x2)>0，

∴F′(x1)·F′(x2)= －1 不成立

∴F(x)的曲線上不存的兩點，使得過這兩點的切線點互相垂直.  

知識點：基本初等函式I

題型：解答題