已知函式（為自然對數的底數）.（1）求函式的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設方程（）有兩個實數根，，求*...

問題詳情：

已知函式（為自然對數的底數）.

（1）求函式的零點，以及曲線在處的切線方程；

（2）設方程（）有兩個實數根，，求*：.

【回答】

（1）， （2）*見解析

【解析】

（1）由求得函式零點，由導數的幾何意義可求得切線方程；

（2）根據導函式研究出函式的單調*，只有在時，，因此，考查（1）中切線，先*（），只要建構函式在上單調遞增，易得*，方程的解為，（不妨設，則），要*不等式變形為*，即*，由，建構函式，結合導數知識可*．

【詳解】（1）由，得，∴函式的零點是.

.

曲線在處的切線方程為.

，，

∴曲線在處的切線方程為

（2）.

當時，；當時，.

∴的單調遞增區間為，單調遞減區間為.

由（1）知，當或時，；當時，.

下面*：當時，.

當時，

.

易知，在上單調遞增，

而，

∴對恆成立，

∴當時，.

由得.記.

不妨設，則，

∴.

要*，只要*，即*.

又∵，∴只要*，即.

∵，即*.

令.

當時，，為單調遞減函式；

當時，，為單調遞增函式.

∴，∴，

∴

【點睛】本題考查函式的零點，考查導數的幾何意義，考查用導數*不等式．本題中不等式的*中對根的處理採取了兩種不同的方法，設，由函式知識得，利用與切線的交點橫座標＝放縮為*，直接用與的解來表示，再結合函式知識獲得*，轉化與化歸思想在這裡得到進一步的體現．

知識點：基本初等函式I

題型：解答題