已知函式.(1)求*:在(1,+∞)上單調遞增.(2)若≥-在x∈(0,1]內恆成立,求實數t的取值範圍.

問題詳情：

已知函式.

(1)求*: 在(1,+∞)上單調遞增.

(2)若≥-在x∈(0,1]內恆成立,求實數t的取值範圍.

【回答】

 (1)函式的定義域為(0,+∞),f ′(x)=2x-=,

由f ′(x)>0,得x>1,由f ′(x)<0,得0<x<1,

所以,函式f(x)在區間(1,+∞)上單調遞增.

(2)由f(x)≥2tx-對x∈(0,1]恆成立,得2t≤x+-.

令h(x)=x+-,則h′(x)=,

因為x∈(0,1],所以x4-3<0,-2x2<0,

2x2lnx<0,x4>0,

所以h′(x)<0,

所以h(x)在(0,1)上為減函式.

所以當x=1時,h(x)=x+-有最小值2,得2t≤2,

所以t≤1,故t的取值範圍是(-∞,1].

知識點：導數及其應用

題型：解答題