已知函式f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數的底數）．（Ⅰ）求函式f（x）的單調區間；（Ⅱ）當a＞0時，若f...

問題詳情：

已知函式f（x）=ex﹣ax﹣1（e為自然對數的底數）． （Ⅰ）求函式f（x）的單調區間； （Ⅱ）當a＞0時，若f（x）≥0對任意的x∈R恆成立，求實數a的值； （Ⅲ）求*：  ．

【回答】

【解析】（Ⅰf′（x）=ex﹣a

∴a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在R上單調遞增．

a＞0時，x∈（﹣∞，lna）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．

（Ⅱ）：由（Ⅰ），a＞0時，f（x）min=f（lna），∴f（lna）≥0

即a﹣alna﹣1≥0，記g（a）=a﹣alna﹣1（a＞0），∵g′（a）=1﹣（lna+1）=﹣lna，∴g（a）在（0，1）上增，在（1，+∞）上遞減，∴g（a）≤g（1）=0

故g（a）=0，得a=1

（Ⅲ）*：由（Ⅱ）ex≥x+1，即ln（1+x）≤x（x＞﹣1），則x＞0時，ln（1+x）＜x

要*原不等式成立，只需*：  ＜2，即*：  ＜1，

下*  ≤  ﹣  ①

⇔  ≤

⇔4（32k﹣2•3k+1）≥3•32k﹣4•3k+1

⇔32k﹣4•3k+3≥0⇔（3k﹣1）（3k﹣3）≥0，

①中令k=1，2，…，n，各式相加，

得  ＜（  ﹣  ）+（  ﹣  ）+…+（  ﹣  ）

=  ﹣  ＜1成立，

故原不等式成立．

知識點：推理與*

題型：解答題