設函式f（x）=ax﹣﹣2lnx．（Ⅰ）若f（x）在x=2時有極值，求實數a的值和f（x）的極大值；（Ⅱ）若f...

問題詳情：

設函式f（x）=ax﹣﹣2lnx．

（Ⅰ）若f（x）在x=2時有極值，求實數a的值和f（x）的極大值；

（Ⅱ）若f（x）在定義域上是減函式，求實數a的取值範圍．

【回答】

解：（Ⅰ）f′（x）=a+﹣；

∴f′（2）=a+﹣1=0，解得a=；

∴f′（x）=+﹣=，

x＞0，令f′（x）=0，解得：x=，或2；

∴x∈（0，）時，f′（x）＞0；x∈（，2）時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0；

∴x=時，f（x）取得極大值f（）=2ln2﹣；----6分

（Ⅱ）∵f′（x）=，

∴需x＞0時ax2﹣2x+a≤0恆成立；

a=0時，函式y=ax2﹣2x+a開口向上，x＞0時，滿足ax2﹣2x+a＜0恆成立，

a＜0時，函式g（x）=ax2﹣2x+a的對稱軸是x=1/a＜0，

圖象在y軸左側且g（0）=a＜0，故滿足題意，

a>0時不成立

綜上，a≤0．---------12分

知識點：導數及其應用

題型：解答題