已知函式.(Ⅰ)當時,求函式的單調區間和極值;(Ⅱ)求*:當時,關於的不等式在區間上無解.(其中)
問題詳情:
已知函式.
(Ⅰ)當時,求函式的單調區間和極值;
(Ⅱ)求*:當時,關於的不等式在區間上無解.
(其中)
【回答】
【考點】導數的綜合運用
【試題解析】
解:(Ⅰ)
因為,
所以,
當時,.
令,得,
所以隨的變化情況如下表:
極大值 | 極小值 |
所以在處取得極大值,
在處取得極小值.
函式的單調遞增區間為,, 的單調遞減區間為.
(Ⅱ)*:
不等式在區間上無解,等價於在區間上恆成立,
即函式在區間上的最大值小於等於1.
因為,
令,得.
因為時,所以.
當時,對成立,函式在區間上單調遞減,
所以函式在區間上的最大值為,
所以不等式在區間上無解;
當時,隨的變化情況如下表:
↘ | 極小值 | ↗ |
所以函式在區間上的最大值為或.
此時,,
所以
.
綜上,當時,關於的不等式在區間上無解.
【*】見解析
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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