已知函式f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）討論f（x）的單調；（2）當a＜0時，f（x）≤...

問題詳情：

已知函式f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x．（1）討論f（x）的單調*；（2）當a＜0時，*f（x）≤ - - 2．

【回答】

解：因為f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，求導f′（x）=+2ax+（2a+1）==，（x＞0）， ①當a=0時，f′（x）=+1＞0恆成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增； ②當a＞0，由於x＞0，所以（2ax+1）（x+1）＞0恆成立，此時y=f（x）在（0，+∞）上單調遞增； ③當a＜0時，令f′（x）=0，解得：x=-，因為當x∈（0，-）時f′（x）＞0；當x∈（-，+∞）時，f′（x）＜0，所以y=f（x）在（0，-）上單調遞增、在（-，+∞）上單調遞減；綜上可知：當a≥0時f（x）在（0，+∞）上單調遞增，當a＜0時，f（x）在（0，-）上單調遞增、在（-，+∞）上單調遞減. （2）*：由（1）可知：當a＜0時f（x）在（0，-）上單調遞增、在（-，+∞）上單調遞減，所以當x=-時函式y=f（x）取最大值f（x）max=f（-）=-1-ln2-+ln（-）, 從而要*f（x）≤--2，即*f（-）≤--2，即*-1-ln2-+ln（-）≤--2，即*-（-）+ln（-）≤-1+ln2; 令t=-，則t＞0，問題轉化為*：-t+lnt≤-1+ln2,（*）令g（t）=-t+lnt，則g′（t）=-+，令g′（t）=0可知t=2，則當0＜t＜2時g′（t）＞0，當t＞2時g′（t）＜0，所以y=g（t）在（0，2）上單調遞增、在（2，+∞）上單調遞減，即g（t）≤g（2）=-×2+ln2=-1+ln2，即（*）式成立，所以當a＜0時，f（x）≤--2成立．