(Ⅰ)若,求*:函式在(1,+∞)上是增函式;(Ⅱ)求函式在[1,e]上的最小值及相應的值.
問題詳情:
(Ⅰ)若,求*:函式在(1,+∞)上是增函式; (Ⅱ)求函式在[1,e]上的最小值及相應的值.
【回答】
.解:(Ⅰ)當a=﹣2時,f(x)=x2﹣2lnx,當x∈(1,+∞), , 故函式f(x)在(1,+∞)上是增函式. (Ⅱ) ,當x∈[1,e],2x2+a∈[a+2,a+2e2]. 若a≥﹣2,f'(x)在[1,e]上非負(僅當a=﹣2,x=1時,f'(x)=0), 故函式f(x)在[1,e]上是增函式,此時[f(x)]min=f(1)=1. 若﹣2e2<a<﹣2,當 時,f'(x)=0;當 時,f'(x)<0, 此時f(x)是減函式;當 時,f'(x)>0,此時f(x)是增函式. 故[f(x)]min= = 若a≤﹣2e2 , f'(x)在[1,e]上非正(僅當a=﹣2e2 , x=e時,f'(x)=0), 故函式f(x)在[1,e]上是減函式,此時[f(x)]min=f(e)=a+e2 . 綜上可知,當a≥﹣2時,f(x)的最小值為1,相應的x值為1; 當﹣2e2<a<﹣2時,f(x)的最小值為 ,相應的x值為 ; 當a≤﹣2e2時,f(x)的最小值為a+e2 , 相應的x值為e
知識點:導數及其應用
題型:解答題
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