.如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O於點A，連線PA，AO，並延長AO交...

問題詳情：

.如圖，PB為⊙O的切線，B為切點，過B作OP的垂線BA，垂足為C，交⊙O於點A，連線PA，AO，並延長AO交⊙O於點E，與PB的延長線交於點D.

(1)求*：PA是⊙O的切線；

(2)若cos∠CAO＝，且OC＝6，求PB的長．

【回答】

（1）*：如解圖，連線OB，

 第8題解圖

∵OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA，

∵OP⊥AB，

∴AC＝BC，

∴OP是AB的垂直平分線，

∴PA＝PB，

∴∠PAB＝∠PBA，

∴∠PAO＝∠PBO.

∵PB為⊙O的切線，

∴∠OBP＝90°，

∴∠PAO＝90°，

∵OA為⊙O的半徑，

∴PA是⊙O的切線；

(2)解：∵cos∠CAO＝，

∴設AC＝4k，AO＝5k，由勾股定理可知OC＝3k，

∴sin∠CAO＝，tan∠COA＝，

∴＝，即＝，解得OA＝10，

∵tan∠POA＝tan∠COA＝＝，

∴＝，解得AP＝，

∵PA＝PB，

∴PB＝PA＝.

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題