如圖1，已知⊙O外一點P向⊙O作切線PA，點A為切點，連線PO並延長交⊙O於點B，連線AO並延長交⊙O於點C，...

問題詳情：

如圖1，已知⊙O外一點P向⊙O作切線PA，點A為切點，連線PO並延長交⊙O於點B，連線AO並延長交⊙O於點C，過點C作，分別交PB於點E，交⊙O於點D，連線AD．

（1）求*：△APO～△DCA；

（2）如圖2，當時

①求的度數；

②連線AB，在⊙O上是否存在點Q使得四邊形APQB是菱形．若存在，請直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）見解析；（2）①；②存在，.

【解析】

（1）由切線*質和直徑AC可得，由可得，即可得：；

（2）①連線OD，由可得△OAD是等邊三角形，由此可得，；

②作交⊙O於Q，可*ABQP為菱形，求可轉化為求．

【詳解】

（1）∵PA切⊙O於點A，AC是⊙O的直徑，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

（2）如圖2，連線OD，

①∵ ，，

∴△是等邊三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

②存在．如圖2，過點B作交⊙O於Q，連線PQ，BC，CQ，

由①得：，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴

∴

∵

∴，

∴，

∵，

∴，

∴四邊形ABQP是平行四邊形，

∵，

∴四邊形ABQP是菱形，

∴

∴，

【點睛】

本題是有關圓的綜合題，難度不大；主要考查了切線*質，圓周角與圓心角，等邊三角形*質，特殊角三角函式值，菱形*質等．

知識點：點和圓、直線和圓的位置關係

題型：解答題