已知函式ae2x+(a﹣2)ex﹣x.（1）討論的單調*；（2）若有兩個零點，求a的取值範圍.

問題詳情：

已知函式ae2x+(a﹣2) ex﹣x.

（1）討論的單調*；

（2）若有兩個零點，求a的取值範圍.

【回答】

（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）討論單調*，首先進行求導，發現式子特點後要及時進行因式分解，再對按，進行討論，寫出單調區間；（2）根據第（1）問，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當時有2個零點.易知在有一個零點；設正整數滿足，則.由於，因此在有一個零點.從而可得的取值範圍為.

試題解析：（1）的定義域為，，

（ⅰ）若，則，所以在單調遞減.

（ⅱ）若，則由得.

當時，；當時，，所以在單調遞減，在單調遞增.

（2）（ⅰ）若，由（1）知，至多有一個零點.

（ⅱ）若，由（1）知，當時，取得最小值，最小值為.

①當時，由於，故只有一個零點；

②當時，由於，即，故沒有零點；

③當時，，即.

又，故在有一個零點.

設正整數滿足，則.

由於，因此在有一個零點.

綜上，的取值範圍為.

點睛:研究函式零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函式有2個零點求引數a的取值範圍，第一種方法是分離引數，構造不含引數的函式，研究其單調*、極值、最值，判斷與其交點的個數，從而求出a的取值範圍；第二種方法是直接對含參函式進行研究，研究其單調*、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函式先減後增，則只需其最小值小於0，且後面還需驗*最小值兩邊存在大於0的點.

知識點：導數及其應用

題型：解答題