已知函式f(x)=lnx﹣有兩個零點x1、x2. (1)求k的取值範圍; (2)求*:x1+x2>.
問題詳情:
已知函式f(x)=lnx﹣有兩個零點x1、x2.
(1)求k的取值範圍;
(2)求*:x1+x2>.
【回答】
解:(1)函式f(x)=lnx﹣有2個零點,即函式g(x)=xlnx的圖象與直線y=k
有2個交點,g′(x)=lnx+1,令g′(x)>0,解得:x>,
令g′(x)<0,解得:0<x<,
∴g(x)在(0,)遞減,在(,+∞)遞增,
x=是極小值點,g()=﹣,
又x→0時,g(x)→0,x→+∞時,g(x)→+∞,g(1)=0,
g(x)的大致圖象如圖示:由圖象得:﹣<k<0.
(2)*:不妨設x1<x2,由(1)得:0<x1<<x2<1,
令h(x)=g(x)﹣g(﹣x)=xlnx﹣(﹣x)ln(﹣x),
h′(x)=lnx+1-(﹣x)×(﹣x)-1×(-1)+ ln(﹣x)= lnx+1,令h′(x)=0,x=
當0<x<時,h′(x)<0,h(x)在(0,)遞減,h()=0,
∴h(x1)>0,即g(x1)>g(﹣x1),g(x2)>g(﹣x1),x2,﹣x1∈(,+∞),
g(x)在(,+∞)遞增,∴x2>﹣x1,故x1+x2>.
知識點:函式的應用
題型:解答題
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