如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交於點C，連線BC．（1）...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交於A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交於點C，連線BC．

（1）求A，B，C三點的座標；

（2）若點P為線段BC上一點（不與B，C重合），PM∥y軸，且PM交拋物線於點M，交x軸於點N，當△BCM的面積最大時，求△BPN的周長；

（3）在（2）的條件下，當△BCM的面積最大時，在拋物線的對稱軸上存在一點Q，使得△CNQ為直角三角形，求點Q的座標．

【回答】

【考點】二次函式綜合題．

【專題】代數幾何綜合題；壓軸題．

【分析】（1）依據拋物線的解析式直接求得C的座標，令y=0解方程即可求得A、B點的座標；

（2）求出△BCM面積的表示式，這是一個二次函式，求出其取最大值的條件；然後利用勾股定理求出△BPN的周長；

（3）如解答圖，△CNQ為直角三角形，分三種情況：①點Q為直角頂點；②點N為直角頂點；③點C為直角頂點進行解答．

【解答】解：（1）由拋物線的解析式y=﹣x2+2x+3，

∴C（0，3），

令y=0，﹣x2+2x+3=0，解得x=3或x=﹣1；

∴A（﹣1，0），B（3，0）．

（2）設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有：

，解得，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+3．

設P（x，﹣x+3），則M（x，﹣x2+2x+3），

∴PM=（﹣x2+2x+3）﹣（﹣x+3）=﹣x2+3x．

∴S△BCM=S△PMC+S△PMB=PM•（xP﹣xC）+PM•（xB﹣xP）=PM•（xB﹣xC）=PM．

∴S△BCM=（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+．

∴當x=時，△BCM的面積最大．

此時P（，），∴PN=ON=，

∴BN=OB﹣ON=3﹣=．

在Rt△BPN中，由勾股定理得：PB=．

C△BCN=BN+PN+PB=3+．

∴當△BCM的面積最大時，△BPN的周長為3+．

（3）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4

∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

在Rt△CNO中，OC=3，ON=，由勾股定理得：CN=．

設點D為CN中點，則D（，），CD=ND=．

如解答圖，△CNQ為直角三角形，

①若點Q為直角頂點．

作Rt△CNO的外接圓⊙D，與對稱軸交於Q1、Q2兩點，由圓周角定理可知，Q1、Q2兩點符合題意．

連線Q1D，則Q1D=CD=ND=．

過點D（，）作對稱軸的垂線，垂足為E，

則E（1，），Q1E=Q2E，DE=1﹣=．

在Rt△Q1DE中，由勾股定理得：

Q1E==．

∴Q1（1，），Q2（1，）；

②若點N為直角頂點．

過點N作NF⊥CN，交對稱軸於點Q3，交y軸於點F．

易*Rt△NFO∽Rt△CNO，則=，即，解得OF=．

∴F（0，﹣），又∵N（，0），

∴可求得直線FN的解析式為：y=x﹣．

當x=1時，y=﹣，

∴Q3（1，﹣）；

③當點C為直角頂點時．

過點C作Q4C⊥CN，交對稱軸於點Q4．

∵Q4C∥FN，∴可設直線Q4C的解析式為：y=x+b，

∵點C（0，3）在該直線上，∴b=3．

∴直線Q4C的解析式為：y=x+3，

當x=1時，y=，

∴Q4（1，）．

綜上所述，滿足條件的點Q有4個，

其座標分別為：Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，﹣），Q4（1，）．

【點評】本題是二次函式綜合題，難度較大．解題過程中有若干解題技巧需要認真掌握：

①第（2）問中求△BCM面積表示式的方法；

②第（3）問中確定點Q的方法；

③第（3）問中求點Q座標的方法．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題