如圖，在平面在角座標系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A，B（點A在點B的左側）交y軸於點C，點D為拋...

問題詳情：

如圖，在平面在角座標系中，拋物線y=x2-2x-3與x軸交與點A，B（點A在點B的左側）交y軸於點C，點D為拋物線的頂點，對稱軸與x軸交於點E．

（1）連結BD，點M是線段BD上一動點（點M不與端點B，D重合），過點M作MN⊥BD交拋物線於點N（點N在對稱軸的右側），過點N作NH⊥x軸，垂足為H，交BD於點F，點P是線段OC上一動點，當MN取得最大值時，求HF+FP+PC的最小值；

（2）在（1）中，當MN取得最大值HF+FP+1/3PC取得小值時，把點P向上平移個單位得到點Q，連結AQ，把△AOQ繞點O瓶時針旋轉一定的角度（0°<<360°），得到△AOQ，其中邊AQ交座標軸於點C在旋轉過程中，是否存在一點G使得？若存在，請直接寫出所有滿足條件的點Q的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

（1）；（2）存在，Q的座標（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

【分析】

（1）先確定點F的位置，可設點N（m，m2-2m-3），則點F（m，2m-6），可得|NF|=（2m-6）-（m2-2m-3）=-m2+4m-3，根據二次函式的*質得m= 時，NF取到最大值，此時HF=2， F（2，-2），在x軸上找一點K（，0），連線CK，過點F作CK的垂線交CK於點J，交y軸於點P，，直線KC的解析式為： ，從而得到直線FJ  的解析式為：聯立解出點J（ ,

）得FP+PC的最小值即為FJ的長，且, 最後得出 ;（2）由題意可得出點Q（0，-2），A2=，應用“直角三角形斜邊上的中線等於斜邊上的一半”取AQ的中點G，連線OG，則OG=GQ=AQ=，此時，∠AQ0=∠GOQ，把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度 （0°<<360°），得到△A'OQ'，其中邊A’Q’交座標軸於點G，則用0G=GQ’，分四種情況求解即可.

【詳解】

解：（1）如圖1

∵拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸交於點A，B（點A在點B的左側），交y軸於點C

∴令y＝0解得：x1＝﹣1，x2＝3，令x＝0，解得：y＝﹣3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3）

∵點D為拋物線的頂點，且﹣4

∴點D的座標為D（1，﹣4）

∴直線BD的解析式為：y＝2x﹣6，

由題意，可設點N（m，m2﹣2m﹣3），則點F（m，2m﹣6）

∴|NF|＝（2m﹣6）﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3

∴當m＝＝2時，NF 取到最大值，此時MN取到最大值，此時HF＝2，

此時，N（2，﹣3），F（2，﹣2），H（2，0）

在x軸上找一點K（，0），連線CK，過點F作CK的垂線交CK於點J點，交y軸於點P，

∴sin∠OCK＝ ，直線KC的解析式為：，且點F（2，﹣2），

∴PJ＝PC，直線FJ的解析式為：

∴點J（ , ）

∴FP+PC的最小值即為FJ的長，且

∴；

（2）由（1）知，點P（0， ），

∵把點P向上平移 個單位得到點Q

∴點Q（0，﹣2）

∴在Rt△AOQ中，∠AOG＝90°，AQ＝，取AQ的中點G，連線OG，則OG＝GQ＝AQ＝，此時，∠AQO＝∠GOQ

把△AOQ繞點O順時針旋轉一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中邊A′Q′交座標軸於點G

①如圖2

G點落在y軸的負半軸，則G（0，﹣），過點Q'作Q'I⊥x軸交x軸於點I，且∠GOQ'＝∠Q'

則∠IOQ'＝∠OA'Q'＝∠OAQ，

∵sin∠OAQ＝＝＝

∴，解得：|IO|＝

∴在Rt△OIQ'中根據勾股定理可得|OI|＝

∴點Q'的座標為Q'（，﹣）；

②如圖3，

當G點落在x軸的正半軸上時，同理可得Q'（，）

③如圖4

當G點落在y軸的正半軸上時，同理可得Q'（﹣，）

④如圖5

當G點落在x軸的負半軸上時，同理可得Q'（﹣，﹣）

綜上所述，所有滿足條件的點Q′的座標為：（，﹣），（，），（﹣，），（，﹣）

【點睛】

本題主要考查了二次函式圖象與座標軸的交點求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養及直角三角形的中線*質．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用通過求點的座標來表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．

知識點：銳角三角函式

題型：解答題