如圖,拋物線y=-x2-2x+3的圖象與x軸交於A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C,點D為拋物線的...
問題詳情:
如圖,拋物線y=-x2-2x+3 的圖象與x軸交於A,B兩點(點A在點B的左邊),與y軸交於點C,點D為拋物線的頂點.
(1)求A,B,C三點的座標.
(2)點M為線段AB上一點(點M不與點A,B重合),過點M作x軸的垂線,與直線AC交於點E,與拋物線交於點P,過點P作PQ∥AB交拋物線於點Q,過點Q作QN⊥x軸於點N.若點P在點Q左邊,當矩形PMNQ的周長最大時,求△AEM的面積.
(3)在(2)的條件下,當矩形PMNQ的周長最大時,連結DQ.過拋物線上一點F作y軸的平行線,與直線AC交於點G(點G在點F的上方).若FG=2DQ,求點F的座標.
【回答】
解:(1)由拋物線y=-x2-2x+3可知點C(0,3),
令y=0,則0=-x2-2x+3,解得x=-3或x=1,∴點A(-3,0),B(1,0).
(2)由拋物線y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4可知,對稱軸為直線x=-1,
設點M的橫座標為m,則PM=-m2-2m+3,MN=(-m-1)×2=-2m-2,
∴矩形PMNQ的周長=2(PM+MN)=2(-m2-2m+3-2m-2)=-2m2-8m+2=-2(m+2)2+10,
∴當m=-2時矩形的周長最大.
∵點A(-3,0),C(0,3),可求得直線AC的函式表示式為y=x+3,
當x=-2時,y=-2+3=1,則點E(-2,1),∴EM=1,AM=1,∴S=AM·EM=.
(3)∵點M的橫座標為-2,拋物線的對稱軸為x=-1,
∴點N應與原點重合,點Q與點C重合,∴DQ=DC,
把x=-1代入y=-x2-2x+3,得y=4,∴點D(-1,4).∴DQ=DC
∵FG=2DQ,∴FG=4,
設點F(n,-n2-2n+3),則點G(n,n+3),
∵點G在點F的上方,∴(n+3)-(-n2-2n+3)=4,解得n=-4或n=1.
∴點F(-4,-5)或(1,0).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:解答題
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