拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交於點A,B(點A在點B的左側),與y軸交於點C,其頂點為D.將拋物線位於直線l...
問題詳情:
拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交於點A,B(點A在點B的左側),與y軸交於點C,其頂點為D.將拋物線位於直線l:y=t(t<)上方的部分沿直線l向下翻折,拋物線剩餘部分與翻折後所得圖形組成一個“M”形的新圖象.
(1)點A,B,D的座標分別為 , , ;
(2)如圖①,拋物線翻折後,點D落在點E處.當點E在△ABC內(含邊界)時,求t的取值範圍;
(3)如圖②,當t=0時,若Q是“M”形新圖象上一動點,是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P?若存在,求出點P的座標;若不存在,請說明理由.
【回答】
【解答】解:(1)當y=0時,有﹣x2+x﹣1=0,
解得:x1=,x2=3,
∴點A的座標為(,0),點B的座標為(3,0).
∵y=﹣x2+x﹣1=﹣(x2﹣x)﹣1=﹣(x﹣)2+,
∴點D的座標為(,).
故*為:(,0);(3,0);(,).
(2)∵點E、點D關於直線y=t對稱,
∴點E的座標為(,2t﹣).
當x=0時,y=﹣x2+x﹣1=﹣1,
∴點C的座標為(0,﹣1).
設線段BC所在直線的解析式為y=kx+b,
將B(3,0)、C(0,﹣1)代入y=kx+b,
,解得:,
∴線段BC所在直線的解析式為y=x﹣1.
∵點E在△ABC內(含邊界),
∴,
解得:≤t≤.
(3)當x<或x>3時,y=﹣x2+x﹣1;
當≤x≤3時,y=x2﹣x+1.
假設存在,設點P的座標為(m,0),則點Q的橫座標為m.
①當m<或m>3時,點Q的座標為(m,﹣x2+x﹣1)(如圖1),
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(﹣m2+m)2=m2+1+m2+(﹣m2+m﹣1)2,
整理,得:m1=,m2=,
∴點P的座標為(,0)或(,0);
②當≤m≤3時,點Q的座標為(m,x2﹣x+1)(如圖2),
∵以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P,
∴CP⊥PQ,
∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+(m2﹣m+2)2=m2+1+m2+(m2﹣m+1)2,
整理,得:11m2﹣28m+12=0,
解得:m3=,m4=2,
∴點P的座標為(,0)或(1,0).
綜上所述:存在以CQ為直徑的圓與x軸相切於點P,點P的座標為(,0)、(,0)、(1,0)或(,0).
知識點:各地會考
題型:綜合題
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