如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸交x軸於點D，已知A（﹣1...

問題詳情：

如圖，拋物線y=﹣x2+mx+n與x軸交於A、B兩點，與y軸交於點C，拋物線的對稱軸交x軸於點D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．

（1）求拋物線的表示式；

（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形？如果存在，直接寫出P點的座標；如果不存在，請說明理由；

（3）點E是線段BC上的一個動點，過點E作x軸的垂線與拋物線相交於點F，當點E運動到什麼位置時，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的座標

【回答】

【考點】HF：二次函式綜合題．

【分析】（1）直接把A點和C點座標代入y=﹣x2+mx+n得m、n的方程組，然後解方程組求出m、n即可得到拋物線解析式；

（2）先利用拋物線對稱軸方程求出拋物線的對稱軸為直線x=﹣，則D（，0），則利用勾股定理計算出CD=，然後分類討論：如圖1，當CP=CD時，利用等腰三角形的*質易得P1（，4）；當DP=DC時，易得P2（，），P3（，﹣）；

（3）先根據拋物線與x軸的交點問題求出B（4，0），再利用待定係數法求出直線BC的解析式為y=﹣x+2，利用一次函式圖象上點的座標特徵和二次函式圖象上點的座標特徵，設E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣x2+x+2），則FE=﹣x2+2x，由於△BEF和△CEF共底邊，高的和為4，則S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=﹣x2+4x，加上S△BCD=，所以S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD=﹣x2+4x+（0≤x≤4），然後根據二次函式的*質求四邊形CDBF的面積最大，並得到此時E點座標．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），C（0，2）代入y=﹣x2+mx+n得，解得，

∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；

（2）存在．

拋物線的對稱軸為直線x=﹣=，

則D（，0），

∴CD===，

如圖1，當CP=CD時，則P1（，4）；

當DP=DC時，則P2（，），P3（，﹣），

綜上所述，滿足條件的P點座標為（，4）或（，）或（，﹣）；

（3）當y=0時，=﹣x2+x+2=0，解得x1=﹣1，x2=4，則B（4，0），

設直線BC的解析式為y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得，解得，

∴直線BC的解析式為y=﹣x+2，

設E（x，﹣x+2）（0≤x≤4），則F（x，﹣x2+x+2），

∴FE=﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）=﹣x2+2x，

∵S△BCF=S△BEF+S△CEF=•4•EF=2（﹣x2+2x）=﹣x2+4x，

而S△BCD=×2×（4﹣）=，

∴S四邊形CDBF=S△BCF+S△BCD

=﹣x2+4x+（0≤x≤4），

=﹣（x﹣2）2+

當x=2時，S四邊形CDBF有最大值，最大值為，此時E點座標為（2，1）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題