如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交於點A、B(點A在點B的左側),與y軸交於點C(0...
問題詳情:
如圖,在平面直角座標系中,拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交於點A、B(點A在點B的左側),與y軸交於點C(0,﹣2),OB=4OA,tan∠BCO=2.
(1)求A、B兩點的座標;
(2)求拋物線的解析式;
(3)點M、N分別是線段BC、AB上的動點,點M從點B出發以每秒個單位的速度向點C運動,同時點N從點A出發以每秒2個單位的速度向點B運動,當點M、N中的一點到達終點時,兩點同時停止運動.過點M作MP⊥x軸於點E,交拋物線於點P.設點M、點N的運動時間為t(s),當t為多少時,△PNE是等腰三角形?
【回答】
(1)A(﹣1,0);(2)y=x2﹣x﹣2;(3)當t=1時,△PNE是等腰三角形.
【解析】
(1)由C(0,﹣2)知OC=2,根據tan∠BCO==2得OB=4,據此得出點B座標,再由OB=4OA可得點A座標;
(2)將點A、B座標代入拋物線解析式求得a、b的值,從而得出*;
(3)由題意知AN=2t、BM=t,根據tan∠BME=tan∠BCO=2知=,求得OE=OB﹣BE=4﹣t,從而得出PE=﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2,再分點N在點E左側和右側兩種情況,表示出NE的長,利用NE=PE列方程求解可得*.
【詳解】
(1)∵C(0,﹣2),
∴OC=2,
由tan∠BCO==2得OB=4,
則點B(4,0),
∵OB=4OA,
∴OA=1,
則A(﹣1,0);
(2)將點A(﹣1,0)、B(4,0)代入y=ax2+bx﹣2,
得:,
解得:,
∴拋物線解析式為y=x2﹣x﹣2;
(3)設點M、點N的運動時間為t(s),則AN=2t、BM=t,
∵PE⊥x軸,
∴PE∥OC,
∴∠BME=∠BCO,
則tan∠BME=tan∠BCO,即=2,
∴=,即 =,
則BE=t,
∴OE=OB﹣BE=4﹣t,
①點N在點E左側時,即﹣1+2t<4﹣t,解得t< ,
此時NE=AO+OE﹣AN=1+4﹣t﹣2t=5﹣3t,
∵△PNE是等腰三角形,
∴PE=NE,
即﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2=5﹣3t,
整理,得:t2﹣11t+10=0,
解得:t=1或t=10>(舍);
②當點N在點E右側時,即﹣1+2t>4﹣t,解得t>,
又且2t≤5,
∴<t≤ ,
此時NE=AN﹣AO﹣OE=2t﹣1﹣(4﹣t)=3t﹣5,
由PE=NE得﹣(4﹣t)2+(4﹣t)+2=3t﹣5,
整理,得:t2+t﹣10=0,
解得:t=<0,捨去;或t=>,捨去;
綜上,當t=1時,△PNE是等腰三角形.
【點睛】
本題主要考查二次函式的綜合問題,解題的關鍵是掌握待定係數法求函式解析式及三角函式的應用、等腰三角形的*質等知識點.
知識點:二次函式單元測試
題型:解答題
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