如圖，已知頂點為C的拋物線y=ax2﹣4ax+c與y軸交於點A（0，﹣3），與x軸兩個交點之間的距離為8，點B...

問題詳情：

如圖，已知頂點為C的拋物線y=ax2﹣4ax+c與y軸交於點A（0，﹣3），與x軸兩個交點之間的距離為8，點B是拋物線上的點，且滿足AB∥x軸，BD⊥x軸於D．

（1）求此拋物線對應的函式表示式；

（2）在拋物線上確定一點F，使直線EF將四邊形ABDO的面積兩等分，求出點F的座標；

（3）線上段AB上是否存在點P，使得以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出P點的座標；若不存在，請說明理由．

【回答】

【解答】解：（1）∵拋物線與y軸的交點C（0，﹣3），

∴c=﹣3，

∵拋物線的解析式為y=ax2﹣4ax﹣3，[來源:學科網ZXXK]

∴此拋物線的對稱軸為x=﹣=2，

∵拋物線與x軸的兩交點之間的距離為8，

拋物線與x軸的交點座標為（﹣2，0）和（6，0），

將（﹣2，0）代入拋物線y=ax2﹣4ax﹣3中，得，0=4a+8a﹣3，

∴a==，

∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3，

（2）∵A（0，﹣3），且AB∥x軸，

∴B（4，﹣3），

∴OB的中點座標為（2，﹣），由（1）知，E（﹣2，0），

易得，四邊形ABDO是矩形，

∵直線EF將矩形ABDO面積兩等分，

∴EF必過矩形OB的中點（2，﹣），

∵E（﹣2，0），

∴直線EF的解析式為y=﹣x﹣①，

∵拋物線的解析式y=x2﹣x﹣3②，

聯立①②得，（舍）或，

∴F（，﹣）；

（3）如圖，

由（1）拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣3，

∴C（2，﹣4），

∴直線OC的解析式為y=﹣2x，

記OC與AB的交點為G，

∴G（，﹣3），

在Rt△AOG中，tan∠AOC===

過點C作CF⊥AB於F，

∴AF=2，CH=1，

在Rt△ACF中，tan∠CAF==，

∴∠AOC=∠CAF，

設P（m，﹣3）（0＜m≤4），

∵A（0，﹣3），C（2，﹣4），

∴OA=3，OC==2，AC=，AP=m，

∵以P、A、C為頂點的三角形與△AOC相似，且∠AOC=CAF，

∴①當△AOC∽△CAP時，

∴，

∴，

∴m=，

∴P（，﹣3），

②當△AOC∽△PAC時，

∴，

∴，

∴m=，

∴P（，﹣3）；

即：滿足條件的點P的座標為（，﹣3）或（，﹣3）．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題