已知開口向下的拋物線y=ax2﹣2ax+3與x軸的交點為A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸的交點為C,OC...
問題詳情:
已知開口向下的拋物線y=ax2﹣2ax+3與x軸的交點為A、B兩點(點A在點B的左邊),與y軸的交點為C,OC=3OA
(1)請直接寫出該拋物線解析式;
(2)如圖,D為拋物線的頂點,連線BD、BC,P為對稱軸右側拋物線上一點.若∠ABD=∠BCP,求點P的座標
(3)在(2)的條件下,M、N是拋物線上的動點.若∠MPN=90°,直線MN必過一定點,請求出該定點的座標.
【回答】
【解析】(1)當x=0時,y=ax2﹣2ax+3=3,
∴C(0,3),OC=3OA=3,
∴OA=1,A(﹣1,0),
把點A(﹣1,0)代入拋物線解析式得:a+2a+3=0,
解得:a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3;
(2)如圖1,若點P在拋物線對稱軸右側且在x軸上方,
過點P作PE∥y軸交BC於點E,PF⊥BC於點F,過點D作DH⊥x軸於點H,
∴∠CFP=∠BHD=90°,
∵當y=﹣x2+2x+3=0時,解得:x1=﹣1,x2=3,
∴A(﹣1,0),B(3,0),
∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴頂點D(1,4),
∴DH=4,BH=3﹣1=2,
∴BD=,
∴Rt△BDH中,sin∠ABD=,
∵C(0,3)
∴BC=,PC=,
設直線BC解析式為y=kx+b,
∴,解得:,
∴直線BC解析式為y=﹣x+3,
設P(p,﹣p2+2p+3)(1<p<3),則E(p,﹣p+3),
∴PE=﹣p2+2p+3﹣(﹣p+3)=﹣p2+3p,
∵S△BCP=PE•OB=BC•PF,
∴PF=,
∵∠ABD=∠BCP,
∴Rt△CPF中,sin∠BCP==sin∠ABD=,
∴PF=PC,
∴PF2=PC2,
解得:p1=﹣1(捨去),p2=,
∴﹣p2+2p+3=,
∴點P座標為(,)
如圖2,若點P在x軸下方,
∵tan∠ABD==2>tan45°,
∴∠ABD>45°,
∵∠BCP<∠BOC即∠BCP<45°,
∴∠ABD與∠BCP不可能相等.
綜上所述,點P座標為(,);
(3)如圖3,過P作PH∥y軸,分別過點M、N作MG⊥PH於G,NH⊥PH於H.
設直線MN的解析式為y=kx+n,M(x1,y1)、N(x2,y3),
令kx+n=﹣x2+2x+3,即=x2+(k﹣2)x+n﹣3=0,
∴x1+x2=2﹣k,x1x2=n﹣3,
∴y1+y2=k(x1+x2)+2n=k(2﹣k)+2n,
y1y2=(kx1+n)(kx2+n)=k2x1x2+nk(x1+x2)+n2=﹣3k2+2nk+n2,
∵∠G=∠MPN=∠H,
∴△MPG∽△PNH,
∴ ,
∵P座標為(,),
MG=﹣x1,PH=y1﹣,HN=,GP=,
∴,
整理,得,
∴,
解得 k1=﹣3n+,k2=,
∴直線MN;y=(﹣3n+)x+n=(﹣3x+1)n+,過定點(,);
或y=()x+n=()n+,過定點(,)即P點,捨去.
∴直線MN過定點(,).
知識點:二次函式與一元二次方程
題型:綜合題
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