如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，AB=4，交y軸於點C，對稱軸是直線x=1．（1）求...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=-x2+bx+c與x軸交於A、B兩點，AB=4，交y軸於點C，對稱軸是直線x=1．（1）求拋物線的解析式及點C的座標；（2）連線BC，E是線段OC上一點，E關於直線x=1的對稱點F正好落在BC上，求點F的座標；（3）動點M從點O出發，以每秒2個單位長度的速度向點B運動，過M作x軸的垂線交拋物線於點N，交線段BC於點Q．設運動時間為t（t＞0）秒． ①若△AOC與△BMN相似，請直接寫出t的值； ②△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

【回答】

解：（1））∵點A、B關於直線x=1對稱，AB=4， ∴A（-1，0），B（3，0），代入y=-x2+bx+c中，得：，解得， ∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3， ∴C點座標為（0，3）；（2）設直線BC的解析式為y=mx+n，則有：，解得， ∴直線BC的解析式為y=-x+3， ∵點E、F關於直線x=1對稱，又E到對稱軸的距離為1， ∴EF=2， ∴F點的橫座標為2，將x=2代入y=-x+3中，得：y=-2+3=1， ∴F（2，1）；（3）①如下圖， MN=-4t2+4t+3，MB=3-2t， △AOC與△BMN相似，則，即：，解得：t=或-或3或1（捨去、-、3），故：t=1； ②∵M（2t，0），MN⊥x軸，∴Q（2t，3-2t）， ∵△BOQ為等腰三角形，∴分三種情況討論，第一種，當OQ=BQ時， ∵QM⊥OB ∴OM=MB ∴2t=3-2t ∴t=；第二種，當BO=BQ時，在Rt△BMQ中 ∵∠OBQ=45°， ∴BQ=， ∴BO=，即3=， ∴t=；第三種，當OQ=OB時，則點Q、C重合，此時t=0 而t＞0，故不符合題意綜上述，當t=或秒時，△BOQ為等腰三角形．【解析】

（1）將A、B關座標代入y=-x2+bx+c中，即可求解；（2）確定直線BC的解析式為y=-x+3，根據點E、F關於直線x=1對稱，即可求解；（3）①△AOC與△BMN相似，則，即可求解；②分OQ=BQ、BO=BQ、OQ=OB三種情況，分別求解即可．主要考查了二次函式的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的座標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關係．