如圖，已知拋物線y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸相交於點A、B，與y軸相交於點C，且點A在點B的左側...

問題詳情：

如圖，已知拋物線y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）與x軸相交於點A、B，與y軸相交於點C，且點A在點B的左側．

（1）若拋物線過點G（2，2），求實數m的值；

（2）在（1）的條件下，解答下列問題：

①求出△ABC的面積；

②在拋物線的對稱軸上找一點H，使AH+CH最小，並求出點H的座標；

（3）在第四象限內，拋物線上是否存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

【考點】二次函式綜合題．

【分析】（1）把點G的座標代入拋物線的解析式中可求得m的值；

（2）①根據（1）中的m值寫出拋物線的解析式，分別求拋物線與x軸和y軸的交點座標，根據座標特點寫出AB和OC的長，利用三角形面積公式求△ABC的面積；

②由對稱*可知：x=1，點A和B關於拋物線的對稱軸對稱，所以由軸對稱的最短路徑可知：連線BC與對稱軸的交點即為點H，依據待定係數法可求得直線BC的解析式，將x=1代入得：y=，則點H的座標為（1，）；

（3）在第四象限內，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似，根據∠ACB與∠ABM為鈍角，分兩種情況考慮：①當△ACB∽△ABM時；②當△ACB∽△MBA時，利用相似三角形的判定與*質，確定出m的值即可．

【解答】解：（1）把點G（2，2）代入拋物線y=﹣（x+2）（x﹣m）中得：

2=﹣（2+2）（2﹣m），

m=4；

（2）①由（1）得拋物線的解析式為：y=﹣（x+2）（x﹣4），

當x=0時，y=﹣（0+2）（0﹣4）=2，

∴C（0，2），

∴OC=2，

當y=0時，﹣（x+2）（x﹣4）=0，

x=﹣2或4，

∴A（﹣2，0），B（4，0），

∴AB=2+4=6，

∴S△ABC=AB•OC=×6×2=6；

則△ABC的面積是6；

②∵A（﹣2，0），B（4，0），

由對稱*得：拋物線的對稱軸為：x=1，

∵點A和B關於拋物線的對稱軸對稱，

∴連線BC與對稱軸的交點即為點H，

此時AH+CH為最小，

設直線BC的解析式為：y=kx+b，

把B（4，0），C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線BC的解析式為：y=﹣x+2，

當x=1時，y=，

∴H（1，）；

（3）存在符合條件的點M，

由圖形可知：∠ACB與∠ABM為鈍角，

分兩種情況考慮：

①當△ACB∽△ABM時，則有，即AB2=AC•AM，

∵A（﹣2，0），C（0，2），即OA=OC=2，

∴∠CAB=45°，∠BAM=45°，

如圖2，過M作MN⊥x軸於N，則AN=MN，

∴OA+ON=2+ON=MN，

設M（x，﹣x﹣2）（x＞0），

把M座標代入拋物線解析式得：﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），

∵x＞0，

∴x+2＞0，

∵m＞0，

∴x=2m，即M（2m，﹣2m﹣2），

∴AM==2（m+1），

∵AB2=AC•AM，AC=2，AB=m+2，

∴（m+2）2=2 •2（m+1），

解得：m=2±2，

∵m＞0，

∴m=2+2；

②當△ACB∽△MBA時，則，即AB2=CB•MA，

∵∠CBA=∠BAM，∠ANM=∠BOC=90°，

∴△ANM∽△BOC，

∴，

∵OB=m，設ON=x，

∴=，即MN=（x+2），

令M[x，﹣（x+2）]（x＞0），

把M座標代入拋物線解析式得：﹣（x+2）=﹣（x+2）（x﹣m），

同理解得：x=m+2，即M[m+2，﹣（m+4）]，

∵AB2=CB•MA，CB=，AN=m+4，MN=（m+4），

∴（m+2）2=•，

整理得： =0，顯然不成立，

綜上，在第四象限內，當m=2 +2時，拋物線上存在點M，使得以點A、B、M為頂點的三角形與△ACB相似．

【點評】本題是二次函式綜合題，主要考查的是軸對稱路徑最短問題、待定係數法確定函式解析式、座標與圖形*質、相似三角形的判定與*質、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定與*質是解本題的關鍵．

知識點：二次函式與一元二次方程

題型：綜合題