已知函式.(1)當a=1時,求在時的最小值;(2)若存在單調遞減區間,求a的取值範圍;(3)求*:.
問題詳情:
已知函式.
(1)當a =1時,求在時的最小值;
(2)若存在單調遞減區間,求a的取值範圍;
(3)求*:.
【回答】
解:(1)的定義域為.
∵,
∴在上是增函式.
當時,的最小值為;(3分)
(2)∵
∵若存在單調遞減區間,
∴有正數解.即有的解.(5分)
①當時,明顯成立.
②當時,為開口向下的拋物線,故總有的解;
③當時,為開口向上的拋物線,
故方程必須有正根
∵,∴方程有兩正根
∴,解得.
綜合①②③知:.(9分)
(3)(法一)根據(1)的結論,當時,,即
令,則有
∴.(12分)
(法二)①當n=1時,ln(n+1)=ln2.
∵3ln2=ln8>1,∴,即n=1時命題成立.
②設當n=k時,命題成立,即.
∴當n=k+1時,
根據(1)的結論,當時,,即.
令,則有,
則有,即n=k+1時命題也成立.
因此,由數學歸納法可知不等式成立.(12分)
點評:本題考查利用導數研究函式的單調*及數學歸納法,難點之一在於(2)中通過求 後,轉化為“有的解”的問題,再用分類討論思想來解決;難點之二在於(3)中法一通過建構函式,用放縮法*得結論,法二通過數學歸納法,其中也有建構函式的思想,屬於難題.
知識點:基本初等函式I
題型:解答題
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