.設函式。（1）若在區間上存在單調遞減區間，求的取值範圍；（2）當時，在區間上的最大值為15，求在區間上的最小...

問題詳情：

.設函式。

（1）若在區間上存在單調遞減區間，求的取值範圍；

（2）當時，在區間上的最大值為15，求在區間上的最小值。

【回答】

(1)     (2)

【解析】

【分析】

（1）求出導函式，利用f（x）在區間上存在單調遞減區間，轉化為導函式在上存在函式值小於零的區間，列出不等式求解a的範圍即可．

（2）判斷導函式的開口方向，對稱軸，利用函式f（x）的上單調*，求出a，然後求解最小值．

【詳解】解：（1）函式，a∈R．

可得．

由條件f（x）在區間上存在單調遞減區間，知導函式在上存在函式值小於零的區間，

只需 ，解得 ，

故a的取值範圍為．

（2）的圖象開口向上，且對稱軸x＝﹣1，

f′（0）＝a＜0，f′（3）＝9+6+a＝15+a＞0，

所以必存在一點x0∈（0，3），使得f′（x0）＝0，

此時函式f（x）在[0，x0]上單調遞減，

在[x0，3]單調遞增，又由於f（0）＝0，f（3）＝9+9+a＝18+3a＞0＝f（0）

所以f（3）＝18+3a＝15，即a＝﹣1，此時，

由 ，

所以函式 ．

【點睛】本題考查函式的導數的應用，導函式的*質，函式的最值的求法，考查分析問題解決問題的能力．

知識點：導數及其應用

題型：解答題