已知函式f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx（i）當a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；（ii）用...

問題詳情：

已知函式f（x）=x3+ax+，g（x）=﹣lnx

（i）當 a為何值時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（ii）用min {m，n }表示m，n中的最小值，設函式h（x）=min { f（x），g（x）}（x＞0），討論h（x）零點的個數．

【回答】

【分析】（i）f′（x）=3x2+a．設曲線y=f（x）與x軸相切於點P（x0，0），則f（x0）=0，f′（x0）=0解出即可．

（ii）對x分類討論：當x∈（1，+∞）時，g（x）=﹣lnx＜0，可得函式h（x）=min { f（x），g（x）}≤g（x）＜0，即可得出零點的個數．

當x=1時，對a分類討論：a≥﹣，a＜﹣，即可得出零點的個數；

當x∈（0，1）時，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內的零點個數即可．對a分類討論：①當a≤﹣3或a≥0時，②當﹣3＜a＜0時，利用導數研究其單調*極值即可得出．

【解答】解：（i）f′（x）=3x2+a．

設曲線y=f（x）與x軸相切於點P（x0，0），則f（x0）=0，f′（x0）=0，

∴，解得，a=．

因此當a=﹣時，x軸為曲線y=f（x）的切線；

（ii）當x∈（1，+∞）時，g（x）=﹣lnx＜0，

∴函式h（x）=min { f（x），g（x）}＜0，

故h（x）在x∈（1，+∞）時無零點．

當x=1時，若a≥﹣，則f（1）=a+≥0，

∴h（x）=min { f（1），g（1）}=g（1）=0，故x=1是函式h（x）的一個零點；

若a＜﹣，則f（1）=a+＜0，∴h（x）=min { f（1），g（1）}=f（1）＜0，故x=1不是函式h（x）的零點；

當x∈（0，1）時，g（x）=﹣lnx＞0，因此只考慮f（x）在（0，1）內的零點個數即可．

①當a≤﹣3或a≥0時，f′（x）=3x2+a在（0，1）內無零點，因此f（x）在區間（0，1）內單調，

而f（0）=，f（1）=a+，∴當a≤﹣3時，函式f（x）在區間（0，1）內有一個零點，

當a≥0時，函式f（x）在區間（0，1）內沒有零點．

②當﹣3＜a＜0時，函式f（x）在內單調遞減，在內單調遞增，故當x=時，f（x）取得最小值=．

若＞0，即，則f（x）在（0，1）內無零點．

若=0，即a=﹣，則f（x）在（0，1）內有唯一零點．

若＜0，即，由f（0）=，f（1）=a+，

∴當時，f（x）在（0，1）內有兩個零點．當﹣3＜a時，f（x）在（0，1）內有一個零點．

綜上可得：a＜時，函式h（x）有一個零點．

當時，h（x）有一個零點；

當a=或時，h（x）有兩個零點；

當時，函式h（x）有三個零點．

【點評】本題考查了導數的運演算法則、利用導數的幾何意義研究切線方程、利用導數研究函式的單調*極值，考查了分類討論思想方法、推理能力與計算能力，屬於難題．

知識點：函式的應用

題型：解答題