設函式f（x）是R上的奇函式，f（x+π）=﹣f（x），當0≤x≤時，f（x）=cosx﹣1，則﹣2π≤x≤2...

問題詳情：

設函式f（x）是R上的奇函式，f（x+π）=﹣f（x），當0≤x≤時，f（x）=cosx﹣1，則﹣2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積為（　　）

A．4π﹣8   B．2π﹣4   C．π﹣2    D．3π﹣6

【回答】

A【考點】6G：定積分在求面積中的應用．

【分析】根據函式的奇偶*得到函式的週期是2π，分別求出函式的解析式，利用積分的應用即可得到結論

【解答】解：由f（x+π）=﹣f（x）得f（x+2π）=f（x），

即函式的週期是2π，

若﹣≤x≤0，則0≤﹣x≤，

即f（﹣x）=cos（﹣x）﹣1=cosx﹣1，

∵f（x）是R上的奇函式，

∴f（﹣x）=cosx﹣1=﹣f（x），

即f（x）=1﹣cosx，﹣≤x≤0，

∵函式的週期是2π，

∴當＜x≤2π時，﹣＜x﹣2π≤0，

即f（x）=f（x﹣2π）=1﹣cos（x﹣2π）=1﹣cosx，

當＜x≤π時，﹣＜x﹣π≤0，

即f（x）=﹣f（x﹣π）=cos（x﹣π）﹣1=﹣cosx﹣1，

當π＜x≤時，0≤x﹣π≤，

即f（x）=﹣f（x﹣π）=﹣cos（x﹣π）+1=cosx+1，

綜上：f（x）=，

則由積分的公式和*質可知當﹣2π≤x≤2π時，f（x）的圖象與x軸所圍成圖形的面積

S=2=4=8=8||=8（x﹣sinx）|=4π﹣8．

故選A．

知識點：導數及其應用

題型：選擇題