在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PB=PD.（1）*：BD⊥平面PAC；（2）...

問題詳情：

在四稜錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠ABC=60°，PB=PD.

（1）*：BD⊥平面PAC；

（2）若PA⊥CD，2PA=CD，求二面角D-PC-A的餘弦值.

【回答】

（1）*見解析；（2）.

【解析】

（1）通過*BD⊥PO和BD⊥AC即可*BD⊥平面PAC；

（2）取BC的中點E，分別以AE，AB，PA為x，y，z軸建立空間座標系如圖，利用向量法可求得.

【詳解】

（1）*：設AC與BD的交點為O，連線PO，

因為PB=PD，所以BD⊥PO，

因為ABCD為菱形，所以BD⊥AC，

因為PO∩AC=O，PO，AC平面PAC，所以BD⊥平面PAC；

（2）因為BD⊥平面PAC，PA平面PAC，所以PA⊥BD，

又因為PA⊥CD，CD∩BD=D，CD，BD平面ABCD，所以PA⊥平面ABCD，

取BC的中點E，分別以AE，AB，PA為x，y，z軸建立空間座標系如圖，

設PA=a，則CD=AC=2a，，所以，，

設平面PCD的一個法向量為，

則，得，令，得，

由因為BD⊥平面PAC，

所以為平面PAC的一個法向量，且，

設二面角A-PC-D的平面角為θ，則，

由圖可知θ為銳角，所以.

【點睛】

本題考查線面垂直的*，考查向量法求面面角，屬於中檔題.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題