如圖，四稜錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．（Ⅰ...

問題詳情：

如圖，四稜錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PD=CD=2，∠PDC=120°．

（Ⅰ）*平面PDC⊥平面ABCD；

（Ⅱ）求直線PB與平面ABCD所成角的正弦值．

【回答】

【考點】LY：平面與平面垂直的判定；MI：直線與平面所成的角．

【分析】（Ⅰ）*AD⊥CD，AD⊥PD，推出AD⊥平面PDC，然後*平面PCD⊥平面ABCD．

（Ⅱ）在平面PCD內，過點P作PE⊥CD交直線CD於點E，連線EB，說明∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角，通過在Rt△PEB中，求解sin∠PBE=，推出結果．

【解答】（Ⅰ）*：由於底面ABCD是矩形，

故AD⊥CD，又由於AD⊥PD，CD∩PD=D，

因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，

所以平面PCD⊥平面ABCD．…6分；

（Ⅱ）解：在平面PCD內，過點P作PE⊥CD交直線CD於點E，連線EB，

由於平面PCD⊥平面ABCD，而直線CD是平面PCD與平面ABCD的交線，

故PE⊥平面ABCD，由此得∠PBE為直線PB與平面ABCD所成的角…8分

在△PDC中，由於PD=CD=2，∠PDC=120°，知∠PDE=60°．，

在Rt△PEC中，PE=PDsin60°=3，DE=12，PD=1，

且BE===，

故在Rt△PEB中，PB==，sin∠PBE==．

所以直線PB與平面ABCD所成的角的正弦值為．…12分．

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題