如圖所示，在四稜錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側稜PA＝PD＝，PA⊥PD，底面ABCD為直角梯...

問題詳情：

如圖所示，在四稜錐P－ABCD中，側面PAD⊥底面ABCD，側稜PA＝PD＝，PA⊥PD，

底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝1，O為AD中點．

 (1)求B點到平面PCD的距離；

(2)線段PD上是否存在一點Q，使得二面角Q－AC－D的餘弦值為？

若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．

【回答】

解：在△PAD中，PA＝PD，O為AD中點，∴PO⊥AD.

又∵側面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，∴PO⊥平面ABCD.

在△PAD中，PA⊥PD，PA＝PD＝，∴AD＝2.

在直角梯形ABCD中，O為AD的中點，AB⊥AD，∴OC⊥AD.

以O為座標原點，OC為x軸，OD為y軸，OP為z軸建立空間直角座標系，如圖所示，

則P(0,0,1)，A(0，－1,0)，B(1，－1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，

 (1)∴＝(1，－1，－1)．

設平面PCD的法向量為u＝(x，y，z)，

則取z＝1，得u＝(1,1,1)．

則B點到平面PCD的距離d＝＝.

(2)設＝λ(0≤λ≤1)．∵＝(0,1，－1)，∴－＝＝(0，λ，－λ)，

∴＝(0，λ，1－λ)，∴Q(0，λ，1－λ)．

設平面CAQ的法向量為m＝(x，y，z)，

則取z＝1＋λ，得m＝(1－λ，λ－1，λ＋1)．

平面CAD的一個法向量為n＝(0,0,1)，

∵二面角Q－AC－D的餘弦值為，

∴|cos〈m，n〉|＝＝.

整理化簡，得3λ2－10λ＋3＝0.解得λ＝或λ＝3(捨去)，∴存在，且＝.

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題