已知函式.（Ⅰ）當時，判斷函式的單調*；（Ⅱ）當時，*：.（為自然對數的底數）

問題詳情：

已知函式.

（Ⅰ）當時，判斷函式的單調*；

（Ⅱ）當時，*：.（為自然對數的底數）

【回答】

【解析】

（1）函式的定義域為.

.

①當時，.

當時，，函式單調遞增；

當時，，函式單調遞減.

②當時，.

當時，，函式單調遞增；

當時，，函式單調遞減；

當時，，函式單調遞增.

③當時，.

易知恆成立，函式在上單調遞增；

④當時，.

當時，，函式單調遞增；

當時，，函式單調遞減；

當時，，函式單調遞增.

綜上，當時，函式在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函式在上單調遞增；

當時，函式在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函式在上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，不等式化為.

記，則.

顯然在上單調遞增，

且，.

所以在上有唯一的零點，且.

所以當時，，函式單調遞減；當時，，函式單調遞增.

由，即，得，

所以，

而易知函式在上單調遞減，

所以，

所以.

所以，即.

知識點：基本初等函式I

題型：解答題