如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是稜CC1上不同於端點的點，且...

問題詳情：

如圖，已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是稜CC1上不同於端點的點，且＝λ．

    （1） 當∠BEA1為鈍角時，求實數λ的取值範圍；

    （2） 若λ＝，記二面角B1－A1B－E的的大小為θ，求|cosθ|．

【回答】

解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立如圖所示的空間直角座標系．

     由題設，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．

因為＝λ，所以E(0，3，5λ)．

     從而＝(2，0，－5λ)，＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分

     當∠BEA1為鈍角時，cos∠BEA1＜0，

     所以·＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，

     解得＜λ＜．

     即實數λ的取值範圍是(，)．             …………………………………… 5分

（2）當λ＝時，＝(2，0，－2)，＝(2，－3，3)．

設平面BEA1的一個法向量為n1＝(x，y，z)，

由   得

    取x＝1，得y＝，z＝1，

所以平面BEA1的一個法向量為n1＝(1，，1)．  ………………………………… 7分

    易知，平面BA1B1的一個法向量為n2＝(1，0，0)．

    因為cos< n1，n2>＝＝＝，

    從而|cosθ|＝．                     

知識點：空間中的向量與立體幾何

題型：解答題