如圖,直三稜柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,側稜AA1=1,側面AA1B1B的兩...
問題詳情:
如圖,直三稜柱ABC―A1B1C1中,∠ACB=90°,AC=1,CB=,側稜AA1=1,側面AA1B1B的兩條對角線交點為D,B1C1的中點為M.
(Ⅰ)求*CD⊥平面BDM;
(Ⅱ)求面B1BD與面CBD所成二面角的大小.
【回答】
本小題主要考查線面關係和直稜柱等基礎知識,同時考查空間想象能力和推理運算能力.
解法一:(Ⅰ)如圖,連結CAACCM,則CA1=.
∵CB=CA1=,
∴△CBA1為等腰三角形,
又知D為其底邊A1B的中點,
∴CD⊥A1B.
∵A1C1=1,C1B1=,
∴A1B1=,
又BB1=1,∴A1B=2.
∵△A1CB為直角三角形,
D為A1B的中點,
∴CD=A1B=1,CD=CC1.
又DM=AC1=,DM=C1M,
∴△CDM≌△CC1M,
∠CDM=∠CC1M=90°,即CD⊥DM.
因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線,所以CD⊥平面BDM.
(Ⅱ)設F、G分別為BC、BD的中點,連結B1G、FG、B1F,則
FG∥CD,FG=CD.
∴FG=,FG⊥BD.
由側面矩形BB1A1A的對角線的交點為D,
知BD=B1D=A1B=1,
所以△BB1D是邊長為1的正三角形,
於是B1G⊥BD,B1G=
∴∠B1GF是所求二面角的平面角.
又B1F2=B1B2+BF2=1+()2=
∴cosB1GF==.
即所求二面角的大小為π-arccos
解法二:如圖,以C為原點建立座標系.
(Ⅱ)B(,0,0),B1(,1,0),A1(0,1,1),D(,,),M(,1,0),
=(,,), =(,-1,-1),
=(0, ,-),
則・=0,・=0,
∴CD⊥A1B,CD⊥DM.
因為A1B、DM為平面BDM內兩條相交直線,
所以CD⊥平面BDM.
(Ⅱ)設BD中點為G,連結B1G,則G(,,),
=(-,,), =(-,-,),
∴・=0.∴BD⊥B1G.
又CD⊥BD,
∴與的夾角θ等於所求二面角的平面角.
cosθ==-.
所以所求二面角的大小等於π-arccos.
知識點:點 直線 平面之間的位置
題型:計算題
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