如圖，直三稜柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC=，BB1＝3，D為A1C1的中點，F...

問題詳情：

 如圖，直三稜柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，

AB＝BC=，BB1＝3，D為A1C1的中點，F線上段AA1上．

（1）AF為何值時，CF⊥平面B1DF？

（2）設AF=1，求平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的餘弦值.

【回答】

（1）因為直三稜柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC＝．

以B點為原點，BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角座標系.因為AC＝2，∠ABC＝90º，所以AB＝BC＝，

從而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．

所以，

設AF＝x，則F(，0，x)，

.

，所以       

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.

由＝2＋x（x－3）＝0，得x＝1或x＝2，

故當AF＝1或2時，CF⊥平面B1DF．……………… 5分

（2）由（1）知平面ABC的法向量為n1=（0，0，1）.    

設平面B1CF的法向量為，則由得

令z=1得，

所以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的餘弦值

知識點：點 直線 平面之間的位置

題型：解答題